Statistique pour les processus de Markov déterministes par morceaux
Workshop à Nancy
2 et 3 février 2017

Programme

Jeudi 02/02 Vendredi 03/02
09:00 - 09:30 Accueil Alexandre Genadot
09:30 - 10:00
10:00 - 10:30 Exposé introductif Pause
10:30 - 11:00 Patrice Bertail
11:00 - 11:30 François Portier
11:30 - 12:00 Benoîte de Saporta
12:00 - 12:30 Mathieu Sart
12:30 - 13:00 Déjeuner
13:00 - 13:30 Déjeuner
13:30 - 14:00
14:00 - 14:30
14:30 - 15:00 Eva Löcherbach
15:00 - 15:30
15:30 - 16:00 Samuel Soubeyrand
16:00 - 16:30
16:30 - 17:00 Pause
17:00 - 17:30 Marc Hoffmann
17:30 - 18:00

Résumé des exposés

Patrice Bertail : Bootstrapping Robust Statistics for Markovian Data: Applications to Regenerative R- and L-Statistics.
The talk is devoted to the notion of robustness in the context of Markovian data, based on their (pseudo-) regenerative properties and studying its impact on the regenerative Bootstrap. Precisely, it is shown how to possibly define the "influence function" in this framework, so as to measure the impact of (pseudo-) regeneration data blocks on the statistic of interest. We also define the concept of regeneration-based signed linear rank statistic and L-statistics, as specific functionals of the regeneration blocks, which can be made robust against outliers in this sense. The asymptotic validity of the Approximate Regenerative Block-Bootstrap, originally introduced in Bertail and Clémençon (2006), Bernoulli, for sample means, is established here, when applied to such statistics. For illustration purpose, we compare Bootstrap confidence intervals for the mean, the median and some L-statitics and their robustified version of the (supposedly existing) stationary probability distribution $\mu(dx)$.

Benoîte de Saporta : Méthode numérique pour le contrôle des PDMP.
S'il existe de nombreux résultats théoriques autour des problèmes de contrôle pour les PDMP, les méthodes numériques permettant de les résoudre en pratique sont encore peu nombreuses. Je présenterai l'approche développée en collaboration avec François Dufour pour résoudre les problèmes d'arrêt optimal. L'idée de base est d'utiliser la chaîne des positions après saut et durées inter-saut incluse dans le PDMP et qui est déjà en temps discret, puis d'obtenir une formulation récursive du problème à résoudre à l'aide de la propriété de Markov. L'espace d'états est ensuite discrétisé par quantification pour obtenir des quantités calculables. Dans une deuxième partie, je montrerai comment cette idée peut également être utile pour des problèmes de statistique des PDMP.

Alexandre Genadot : Probabilité d'absorption et nombre de croisement : inférence statistique pour des processus de croissance-fragmentation.
Les processus de croissance-fragmentation constituent une classe très spécifique, et sûrement très simple par bien des aspects, de processus markoviens déterministes par morceaux. Dans une première partie, nous nous concentrerons sur des processus de croissance-fragmentation pouvant être absorbés, modélisant par exemple la croissance d'une population sujette à des catastrophes pouvant mener à l'extinction. Les probabilité et temps d'absorption vérifient des équations intégrales de type Fredholm qui peuvent être utilisées pour conduire l'inférence statistique de ces valeurs par des méthodes de type "plug-in". Dans une seconde partie, nous commencerons par élargir quelque peu notre propos et nous intéresserons au problème du nombre moyen de croisement d'un certain seuil pour des processus réguliers par morceaux. Nous établirons une formule pour ce nombre de moyen de croisement et l'utiliserons afin d'inférer cette valeur sur un modèle de croissance-fragmentation. Là encore, nous utiliserons des méthodes de type "plug-in". Ce travail est en commun avec Romain Azaïs.

Marc Hoffmann : Estimation du taux de branchement d’un modèle structuré en âge, pour des observations continues à temps fixe.
On considère un processus de branchement relativement élémentaire, de type Harris-Bellman, où la variable d’intérêt est le taux de division dépendant uniquement de l’âge. Le flot du PDMP sous-jacent est donc très simple (linéaire par morceaux) et la difficulté de l’étude statistique provient du fait que l’on observe continûment l’évolution jusqu’à un temps fixe (grand) ce qui induit un biais de sélection non-ancillaire (le nombre d’individus dépend lui-même du taux de branchement) et une information statistique (au sens de Fisher) aléatoire. Dans ce contexte, on établit des bornes d’estimation non-paramétriques de type minimax, et on discute des difficultés à mettre un oeuvre un programme classique d’estimation adaptative ou d’inégalités oracles. Il s’agit d’un travail commun avec Adélaïde Olivier.

Eva Löcherbach : Sur l'estimation non-paramétrique du taux de spike pour des systèmes de neurones en interactions.
Nous étudions un système de N neurones en interactions. Chaque neurone est caractérisé par son potentiel de membrane. Le système des N potentiels de membrane est modélisé par un PDMP à valeurs dans $R^N$. Chaque potentiel subit une attraction vers un potentiel d'équilibre m. Lors des décharges (spikes), le neurone qui décharge perd tout son potentiel de membrane (qui est donc remis à 0), tandis que les autres neurones reçoivent une charge supplémentaire de potentiel de membrane. Nous montrons comment relier l'étude d'un estimateur à noyau (du type Nadaraya-Watson) du taux de décharge aux propriétés d'ergodicité du processus et notamment à la régularité de la mesure invariante d'un neurone typique du système. Cette étude s'avère difficile à cause du fait de la dégénérescence du noyau de transition du PDMP. Ce travail a été écrit en collaboration avec Nathalie Krell (Rennes) et Pierre Hodara (São Paulo).

François Portier : Integral estimation with Markovian design.
Suppose that a mobile sensor describes a Markovian trajectory in the ambient space. At each time the sensor measures an attribute of interest, e.g., the temperature. Using only the location history of the sensor and the associated measurements, the aim is to estimate the average value of the attribute over the space. In contrast to classical probabilistic integration methods, e.g.,Monte Carlo, the proposed approach does not require any knowledge on the distribution of the sensor trajectory. Probabilistic bounds on the convergence rates of the estimator are established. These rates are better than the traditional ``root n''-rate, where n is the sample size, attached to other probabilistic integration methods. For finite sample sizes, the good behaviour of the procedure is demonstrated through simulations and an application to the evaluation of the average temperature of oceans is considered.

Mathieu Sart : La $\rho$-estimation appliquée à l'estimation de la densité de transition d'une chaîne de Markov.
Le but de cet exposé est de présenter la méthode de la $\rho$-estimation dans le cadre de l'estimation de la densité de transition d'une chaîne de Markov homogène. On mesurera la qualité des estimateurs à l'aide d' une perte aléatoire de type Hellinger et on montrera pourquoi cette perte permet de s'affranchir de la plupart des hypothèses sur la chaîne de Markov. On expliquera comment fonctionne cette procédure dans le cas où l'on souhaite sélectionner parmi une famille arbitraire (dénombrable) de candidats. On en déduira une inégalité oracle, que l'on pourra exploiter pour faire de la sélection de modèles. Une variante permettra de faire de la sélection d'estimateurs constants par morceaux.

Samuel Soubeyrand : Piecewise-deterministic Markov processes for spatio-temporal population dynamics.
Spatio-temporal population dynamics is a vast topic, which is of particular interest in ecology and epidemiology, and can be considered at various scales, from the microscopic scale to the global scale. A huge diversity of modeling approaches has been proposed to represent spatio-temporal population dynamics. Among these approaches, one can identify some which are based on PDMPs. My presentation will deal with these PDMPs used to represent spatio-temporal population dynamics and the possible perspectives in this field.